Các phương trình vật lý Hệ thống đo lường Planck

Bảng 6 cho thấy việc sử dụng đơn vị Planck đơn giản hóa nhiều phương trình cơ bản trong vật lý, do nó chuẩn hóa năm hằng số phổ quát (và tích của chúng) thành giá trị là 1. Trong hệ SI, ta cần xem xét đơn vị của các hằng số. Trong hệ đo lường Planck, ta không cần phải viết chúng nếu đã được hiểu trước.

Bảng 7: Các phương trình vật lý viết trong hệ đo lường Planck
	Dạng đơn vị SI	Dạng đơn vị Planck
Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton	F = G m 1 m 2 r 2 {\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}	F = m 1 m 2 r 2 {\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}
Phương trình trường Einstein trong thuyết tương đối rộng	G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }	G μ ν = 8 π T μ ν {\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }
Sự tương đương khối lượng–năng lượng trong thuyết tương đối hẹp	E = m c 2 {\displaystyle {E=mc^{2}}\ }	E = m {\displaystyle {E=m}\ }
Quan hệ năng lượng–động lượng	E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}\;}	E 2 = m 2 + p 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}\;}
Nhiệt năng trên hạt trên bậc tự do	E = 1 2 k B T {\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}k_{\text{B}}T}\ }	E = 1 2 T {\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}T}\ }
Công thức entropy Boltzmann	S = k B ln ⁡ Ω {\displaystyle {S=k_{\text{B}}\ln \Omega }\ }	S = ln ⁡ Ω {\displaystyle {S=\ln \Omega }\ }
Liên hệ Planck–Einstein cho năng lượng và tần số góc	E = ℏ ω {\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }	E = ω {\displaystyle {E=\omega }\ }
Định luật Planck cho vật đen tại nhiệt độ T	I ( ω , T ) = ℏ ω 3 4 π 3 c 2 1 e ℏ ω k B T − 1 {\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}~{\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T}}-1}}}	I ( ω , T ) = ω 3 4 π 3 1 e ω / T − 1 {\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}}{4\pi ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\omega /T}-1}}}
Định nghĩa hằng số Stefan–Boltzmann σ	σ = π 2 k B 4 60 ℏ 3 c 2 {\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{\text{B}}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}}	σ = π 2 60 {\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}}{60}}}
Entropy lỗ đen Bekenstein–Hawking	S BH = A BH k B c 3 4 G ℏ = 4 π G k B m BH 2 ℏ c {\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {A_{\text{BH}}k_{\text{B}}c^{3}}{4G\hbar }}={\frac {4\pi Gk_{\text{B}}m_{\text{BH}}^{2}}{\hbar c}}}	S BH = A BH 4 = 4 π m BH 2 {\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {A_{\text{BH}}}{4}}=4\pi m_{\text{BH}}^{2}}
Phương trình Schrödinger	− ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ( r , t ) + V ( r , t ) ψ ( r , t ) = i ℏ ∂ ψ ( r , t ) ∂ t {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}	− 1 2 m ∇ 2 ψ ( r , t ) + V ( r , t ) ψ ( r , t ) = i ∂ ψ ( r , t ) ∂ t {\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}
Phương trình Schrödinger dạng Hamilton	H \| ψ t ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t \| ψ t ⟩ {\displaystyle H\left\|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left\|\psi _{t}\right\rangle }	H \| ψ t ⟩ = i ∂ ∂ t \| ψ t ⟩ {\displaystyle H\left\|\psi _{t}\right\rangle =i{\frac {\partial }{\partial t}}\left\|\psi _{t}\right\rangle }
Phương trình Dirac dạng hiệp biến	( i ℏ γ μ ∂ μ − m c ) ψ = 0 {\displaystyle \ (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0}	( i γ μ ∂ μ − m ) ψ = 0 {\displaystyle \ (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}
Nhiệt độ Unruh	T = ℏ a 2 π c k B {\displaystyle T={\frac {\hbar a}{2\pi ck_{B}}}}	T = a 2 π {\displaystyle T={\frac {a}{2\pi }}}
Định luật Coulomb	F = 1 4 π ε 0 q 1 q 2 r 2 {\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}	F = q 1 q 2 r 2 {\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}
Phương trình Maxwell	∇ ⋅ E = 1 ε 0 ρ ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = 1 c 2 ( 1 ε 0 J + ∂ E ∂ t ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho \\&\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\&\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\&\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}}	∇ ⋅ E = 4 π ρ ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = 4 π J + ∂ E ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \\&\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\&\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\&\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}}
Phương trình trạng thái khí lý tưởng	P V = n R T {\displaystyle PV=nRT}	P V = N T {\displaystyle PV=NT}